RESOLUÇÃO ESPM 2014 - PROGRESSÃO ARITMÉTICA - MATEMÁTICA

(ESPM 2014) Dois irmãos começaram juntos a guardar dinheiro para uma viagem. Um deles guardou R$ 50,00 por mês e o outro começou com R$ 5,00 no primeiro mês, depois R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro e assim por diante, sempre aumentando R$ 5,00 em relação ao mês anterior. Ao final de um certo número de meses, os dois tinham guardado exatamente a mesma quantia. Esse número de meses corresponde a:  a) pouco mais de um ano e meio. b) pouco menos de um ano e meio. c) pouco mais de dois anos. d) pouco menos de um ano. e) exatamente um ano e dois meses.

RESOLUÇÃO ESPM 2014 - QUESTÃO SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA

    (ESPM 2014) Dois irmãos começaram juntos a guardar dinheiro para uma viagem. Um deles guardou R$ 50,00 por mês e o outro começou com R$ 5,00 no primeiro mês, depois R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro e assim por diante, sempre aumentando R$ 5,00 em relação ao mês anterior. Ao final de um certo número de meses, os dois tinham guardado exatamente a mesma quantia. Esse número de meses corresponde a:

a) pouco mais de um ano e meio.
b) pouco menos de um ano e meio.
c) pouco mais de dois anos.
d) pouco menos de um ano.
e) exatamente um ano e dois meses.

RESOLUÇÃO


    Para iniciar este exercício, nos atentemos a informação mais importante dita no enunciado: ao final de um certo número de meses, os dois tinham guardado exatamente a mesma quantia.

    Ou seja, depois de um certo tempo, a quantia juntada por um irmão era igual à quantia juntada pelo outro irmão. 

    Em outras palavras: o irmão que começou juntando menos (R$ 5,00) alcançou o irmão que começou juntando mais (R$ 50,00).

    Sendo assim, podemos afirmar que, a partir de um certo mês, a soma dos valores juntados pelos dois irmãos era igual.


    Chamemos de S1 o irmão que começou juntando R$ 50,00. Para sabermos a soma das economias deste irmão, basta multiplicarmos 50 por “n”.

    O valor 50 é referente a quantia economizada todos os meses pelo primeiro irmão. Já a incógnita “n” é relativo ao valor que procuramos, ou seja, o tempo que levou para que os valores economizados por ambos se igualassem.

    Portante, teremos que:


    Em relação ao segundo irmão, podemos usar a fórmula da soma de termos de uma P.A. Tal fórmula é dada por: 


    Se olharmos bem para a fórmula, vemos que não temos “a
n”, porém, podemos calcular este valor por meio da fórmula do termo geral de uma P.A. Logo:
       

    Com o valor de “a
n, podemos, agora, calcular o valor de S2 através da fórmula da soma dos termos. Posto isso, teremos o seguinte:


    Agora também temos o valor de S
2 que representa a soma das economias do segundo irmão. 

    Como citado no início da resolução, podemos igualar as somas de ambos os irmãos e, neste caso, isolar a incógnita n. Tal incógnita representará o tempo durado para que as economias dos irmãos se equiparassem. Desta maneira, teremos, então:


    O resultado da igualdade das somas foi uma equação do segundo grau. Logo, para acharmos o valor de n, bastar resolvermos esta equação.

    Utilizaremos Bhaskara para a resolução, iniciando os cálculos pelo delta. 


    Para X1:
   

    Para X2:


    Analisando os dois resultados, percebemos que X1 não faz sentido, nos restando apenas o 19.

    Este resultado de 19 meses representa 1 ano e 7 meses, ou seja, 1 anos e meio + 1 mês. Ao olharmos para as alternativas, vemos que somente a letra A se encaixa com o nosso resultado, sendo ela a resposta correta.

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