RESOLUÇÃO FGV-RJ 2016 - CONJUNTOS - MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO FGV-RJ - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS

    (FGV-RJ 2016) Em uma pesquisa para estudar a incidência de três fatores de risco (A, B e C) para doenças cardíacas em homens, verificou-se que, do total da população investigada,

15% da população apresentava apenas o fator A;

15% da população apresentava apenas o fator B;

15% da população apresentava apenas o fator C;

10% da população apresentava apenas os fatores A e B;

10% da população apresentava apenas os fatores A e C;

10% da população apresentava apenas os fatores B e C;

em 5% da população os três fatores de risco ocorriam simultaneamente.

    Da população investigada, entre aqueles que não apresentavam o fator de risco A, a porcentagem dos que não apresentavam nenhum dos três fatores de risco é, aproximadamente:

a) 20%

b) 50%

c) 25%

d) 66%

e) 33%

RESOLUÇÃO

    Para este exercício não é necessário o uso do clássico diagrama de Venn, no entanto, vamos adicioná-lo para termos noção dos conjuntos envolvidos no problema.

    Como as informações presentes no enunciado dão todos os dados para o preenchimento do nosso diagrama de Venn, não é necessário fazermos conta neste início, basta apenas preenchermos o nosso diagrama com os dados fornecidos.

    Preenchido todo o diagrama, contaremos quantos % representa a união de todos os conjuntos.

5% + 10% + 10% + 10% + 15% + 15% + 15% = 80%

    Feito todas as contas, agora sabemos que a união de todos os conjuntos representam 80%, ou seja, de todos os homens pesquisados, 80% representam os homens que possuem um ou mais fatores de risco (A, B, C, AB, AC, BC ou ABC). 

    Os 20% restantes não apresentaram nenhum fator de risco relacionado a pesquisa.

    Sabendo disso, podemos descobrir quantos homens não possuem o fator de risco A. São eles:

— A “puro” que representa 15%;

— B “puro” que também representam 15%;

— Intersecção entre B e C que vale 10% do total;

— 20% dos que não apresentam nenhum tipo de fator;

    Somando todos esses valores, temos: 

15% + 15% + 10% + 20% = 60%

    Muito cuidado nesta parte do exercício, pois, é neste finalzinho que está o grande problema. Sabemos que 20% dos homens não apresentam nenhum fator, no entanto, esta porcentagem está relacionada ao TOTAL de homens pesquisados. 

    Contudo, estes 20% entraram na soma de um novo grupo, O GRUPO DAQUELES QUE NÃO POSSUEM O FATOR “A”. Logo, temos agora um novo TOTAL, o total de homens que não possuí fator A. 

    Portanto, esses 20% representam outra porcentagem dentro deste novo grupo, e é esta porcentagem que nós queremos. Para a ideia ficar bem explícita, resolveremos usando uma simples regra de 3.

— 60% representa o total no novo grupo, logo, 100%. Temos, então:

60% ---- 100%

— 20% representa uma nova porcentagem no novo grupo, logo, será tratada como X, sendo este X o resultado que buscamos.

20% ---- X

    Montando e resolvendo nossa regra de 3, temos o seguinte:

60% ---- 100%

20% ---- X

X.60% = 20%.100%

X = 33,3%

    Concluímos, portanto, que 33% dos homens não apresentam nenhum fator dentre aqueles que não possuem o fator A.