RESOLUÇÃO PUC-RJ 2008 - CONJUNTOS - MATEMÁTICA

RESOLUÇÃO PUC-RJ 2008 - QUESTÃO SOBRE CONJUNTOS

    (PUC-RJ 2008) Um trem viajava com 242 passageiros, dos quais:

• 96 eram brasileiros;

• 64 eram homens;

• 47 eram fumantes;

• 51 eram homens brasileiros;

• 25 eram homens fumantes;

• 36 eram brasileiros fumantes;

• 20 eram homens brasileiros fumantes;

Calcule:

a) o número de mulheres brasileiras não fumantes.

b) o número de homens fumantes não brasileiros.

c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes.

RESOLUÇÃO

    Utilizaremos, para este exercício, o diagrama de Venn.

    Inicialmente, começamos desenhando 3 círculos para representar os 3 conjuntos citados neste exercício; o conjunto dos brasileiros, dos homens e dos fumantes. Esta ação é necessária para podermos responder as 3 alternativas.

    Começaremos, como sempre, pelo centro do diagrama, ou seja, preencheremos a intersecção que abrange os três conjuntos. Em seguida, completaremos a outras intersecções. Logo, teremos o seguinte:

    Chamamos de B o conjunto dos brasileiros, de H o conjunto dos homens e F o conjunto dos fumantes. Em seguida, como já dito, preenchemos o centro (intersecção de todos os conjuntos) com o número 20 que representa a quantia de homens, brasileiros e fumantes.

    Seguindo a ordem de baixo para cima, temos agora a intersecção de B e F (brasileiros e fumantes). Neste grupo há 36 pessoas, no entanto, temos que subtrair os 20 que também fazem parte do grupo central (homens, brasileiros e fumantes). Logo, teremos que B e F é igual a 16.

    A próxima intersecção é da H e F (homens fumantes). Assim como feito acima, temos que subtrair os 20 que fazem parte deste grupo, mas que também estão incluídos na intersecção central. Sendo assim, ficaremos, então, com 5.

    Com a última intersecção (homens brasileiros) não difere, pois também subtrairemos os 20 passageiros do centro. Posto isso, teremos então o valor de 31 com a intersecção entre B e H.

    Temos, agora, apenas as partes “isoladas” dos conjuntos, ou seja, apenas homens, apenas brasileiros e apenas fumantes. Para acharmos o valor destas regiões, temos, antes de tudo, subtrair os passageiros que também pertencem aos outros conjuntos, isto é, as intersecções. Teremos, então:

    Pelo enunciado sabemos que temos 47 fumantes. Para sabermos a quantidade de pessoas incluídas apenas no grupo dos fumantes, temos, antes de tudo, subtrair os fumantes brasileiros, os homens fumantes e, principalmente, os homens brasileiros fumantes. Temos, com isso, o seguinte:

    Ao total, são 47 fumantes, porém, eles se dividem em homens brasileiros fumantes, brasileiros fumantes, homens fumantes e apenas fumantes. Para completarmos o preenchimento dos fumantes, basta acharmos os passageiros que são apenas fumantes, pois já achamos os outros anteriormente.

    Somando os passageiros que são homens brasileiros fumantes + brasileiros fumantes + homens fumantes chegamos ao valor de 41. Subtraindo estes 41 dos 47, nos restam 6 passageiros.

    Para o grupo dos homens faremos o mesmo, sendo homens brasileiros fumantes, homens brasileiros e homens fumantes os grupos que iremos somar para depois subtrairmos do total. Sendo assim, teremos, então, 64 menos os 56 que dá 8 passageiros homens.

    Por fim, repetindo a ideia com o grupo dos brasileiros. Somando todas as intersecções e subtraindo do total, teremos 96 menos 67 resultante em 29 passageiros brasileiros.

    Com o diagrama completo, podemos, agora, responder tudo o que o exercício pede de nós.

a) o número de mulheres brasileiras não fumantes.

    

    Temos um grupo que representa todos os homens que da viagem. Logo, se não considerarmos este grupo, excluímos todos os homens presentes, restando apenas as mulheres. Faremos o mesmo para o grupo dos fumantes, pois buscamos apenas as mulheres brasileiras NÃO fumantes. Portanto, a resposta para esta pergunta é 29 mulheres brasileiras não fumantes.

b) o número de homens fumantes não brasileiros.

    A intersecção entre o grupo dos homens + o grupo dos fumantes é a resposta para esta nossa questão, uma vez que esta intersecção exclui o grupo de brasileiros e une as duas característicos que procuramos.

c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes.

    Os três conjuntos e suas intersecções representam os homens, os homens fumantes, os homens brasileiros, os homens brasileiros fumantes, as fumantes, as brasileiras fumantes e, por fim, as brasileiras.

    O exercício quer apenas mulheres, por isso, excluiremos o grupo dos homens. Porém, o exercício também pede por pessoas não brasileiras, nos obrigando a excluir o grupo dos brasileiros. Por último, o exercício também quer pessoas não fumantes, fazendo com que tenhamos que excluir o grupo destas pessoas. 

    Logo, todo nosso diagrama não serve como respostas, nos restando apenas aquelas que ficaram de fora destes 3 grupos. Para acharmos este valor, somaremos todo nosso diagrama e depois subtrairemos do total de passageiros. Isto nos dará o valor no qual procuramos.

    Temos, então, que a soma dos 3 conjuntos e suas intersecções resulta em 115 passageiros. Subtraindo este valor do total de passageiros, chegaremos no valor de 127, que representa o número de mulheres não brasileiras e não fumantes.